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Nei vari studi relativi al “principio d’indeterminazione”, in meccanica quantistica, si stabiliscono i limiti nella misurazione dei valori di grandezze fisiche coniugate: nella forma più nota, il principio di indeterminazione viene espresso dalla relazione:
fra l’incertezza sulla posizione spaziale “Dx” e quella sulla quantità di moto “DPx” di una particella, dove “h” è la costante di Planck ridotta (o costante di Dirac, valore sperimentale equivalente a 1,0545…E-34 J*s).
Enunciato nel 1927 da Werner Karl Heisenberg e confermato da innumerevoli esperimenti, rappresenta un concetto cardine della meccanica quantistica e sancisce una radicale rottura rispetto alle leggi della meccanica classica.
Ulteriori evoluzioni teorico pratiche del principio di indeterminazione sono state condotte da vari scienziati con l’utilizzo di formule complesse e l’utilizzo di “dispositivi numerici” sempre più raffinati.
Io credo che l’impiego di un concetto di numero universale, possa essere giustamente rappresentato nelle sue componenti naturali e immaginarie, e che solo in questo modo si possano utilizzare per esprimere correttamente la rappresentazione energetico esistenziale della materia.
Vorrei chiarire il concetto partendo da questi presupposti elementari:
Il genere umano per comunicare effettua delle “categorizzazioni mentali” esprimendo tali operazioni tramite concetti più o meno complessi.
Nell’ambito delle categorizzazioni mentali, quelle che riguardano il concetto di relazioni numeriche, sono sicuramente quelle che impegnano moltissimo le facoltà mentali e che nel tempo sono state soggette a trasformazioni sempre più complesse.
L’approccio mentale per comprendere le relazioni dei concetti nel campo delle categorizzazioni numeriche ha sviluppato linguaggi sempre più “coerenti” sotto l’aspetto funzionale: l’ambito LOGICO.
Partendo dal concetto primordiale di numeri naturali si sono definiti dei simboli per identificare delle quantità :
“N” → (0… 1… 2… 3… 4 … 5… 6… 7… 8… 9…)
(simbologia moderna ma di antica origine indiana).
Le relazioni interattive di carattere pratico, quali combinazioni utilizzanti i concetti numerici di cui sopra hanno permesso di concepire operazioni elementari di somma, sottrazione dando origine alla estensione “intuitiva” di questa tipologia di categorizzazione mentale introducendo la definizione dei numeri interi relativi :
“Z” → (… -3… -2… -1… 0 … 1… 2… 3… …)
che comprendono i “numeri negativi”
Dalle necessità pratiche, probabilmente dovute a esigenze di spartizione dei beni vennero introdotti i concetti di divisione e moltiplicazione, portato alla categorizzazione ancora adesso definita come “insieme dei numeri razionali”, anche se a mio parere la parola “razionale” non è del tutto adeguata, perlomeno in italiano.
La rappresentazione dei numeri razionali è la seguente:
“Q” → (… -(Nx/Nx)… -(Nx/Ny) … (Nx/Nx)… (Ny/Nx) … ) → (…-1/2 … -1/3 … 1/2 … 1/3 …)
tali numeri solitamente sono anche rappresentabili in questo modo:
… -1.0… -0.9999… -0.5…. 0.0 … 0.5… 0.75555… 1.0… ….
(come separatore decimale si può usare anche la virgola “,”…..
(nota: si passa dalle categorizzazioni mentali alle convenzioni sociali…)
che però può implicare qualche difficoltà interpretativa nei casi in cui venga considerato anche il numero : (Zero)
“0” → ( 0/Nx …. Nx/0 …)
questa particolarità ha portato alla concettualizzazione elementare di infinito:
“Ꝏ”
Dalle esigenze dovute alle misurazioni spaziali invece, le categorizzazioni mentali relative all’utilizzo della simbologia hanno fatto in modo, per noi occidentali, di dover introdurre il concetto dei “numeri algebrici”, basti pensare alle applicazioni della “Geometria Euclieda” ed in particolare al teorema di Pitagora, dove una variante dell’enunciato recita:
“La misura dell’ipotenusa è data dalla “radice quadrata” della misura dei cateti…”
anche se questi enunciati erano noti anche ad altre culture…. perlomeno in oriente.
In particolare, la condizione che probabilmente portò Ippaso al concetto dei “numeri irrazionali” e che sono esprimibili come “radici” di equazioni algebriche:
in altre parole numeri non esprimibili correttamente se usassimo una delle versioni precedenti:
√2 =1,4142135623730950488016887242097…
(e non può essere il risultato di una frazione)
da questa categorizzazione di numeri si può dedurre un altro concetto interessante:
dati come valori infiniti quelli rappresentati da No, il valore rappresentato da N1 è sicuramente maggiore:
un infinito più grande….
(fare riferimento al valore della radice quadrata)
Ulteriori esigenze di misurazione, in particolare dovute a procedure di misurazioni orografiche o che in qualche modo comprendessero misure di curve portarono alla categorizzazione dei numeri trascendenti, quali “ Л“ ed “e”, il primo come sappiamo viene definito come l’area di un cerchio di raggio “1”, mentre il secondo viene definito come risultato di una serie infinita di frazioni di numeri fattoriali:
Ecco allora l’esigenza di far “rientrare” tutte queste tipologie di numeri in una categoria mentale che li rappresentasse: l’insieme dei numeri reali “R”, che comprende i numeri esprimibili con o senza virgola (decimali), quindi i numeri “razionali”, e quelli “irrazionali”, algebrici e trascendenti.
Attraverso questi numeri si possono esprimere le grandezze scalari (quantità di cose…) o determinare delle istantanee di grandezze vettoriali (forze, velocità ecc) , tuttavia si resero necessarie ulteriori categorizzazioni mentali per spiegare dei concetti in grado di esprimere dei vettori variabili nel tempo (vettori rotanti.. onde sinusoidali…):
rappresentazione di numeri complessi:
I=X+JY
dove “J” è semplicemente un rotore immaginario che farà in modo di ottenere un particolare risultato:
Ecco allora che tutte le categorizzazioni precedenti, ancora una volta verranno “incluse” in un nuovo “insieme numerico”, che tradotto nel sistema di comunicazione coerente dovuto al linguaggio matematico si traduce in:
da quanto sopra si può desumere allora, che nelle categorizzazioni mentali, quella che contempla tutti gli altri numeri sia appunto quella dei numeri complessi.
Ma il genere umano evidentemente fa buon uso della fantasia e quindi alcuni “addetti ai lavori”, per particolari esigenze, hanno introdotto delle ulteriori concettualizzazioni nel campo dei numeri complessi, definendo i “Quaternioni”(usati anche in robotica), gli “Ottonioni”, gli “Sedenioni”, nonosolo, nel campo dei numeri reali sono stati introdotti concetti come i “numeri iper-reali”, numeri “non standard” che fungono da base per l’analisi matematica moderna nel calcolo delle derivate e degli integrali.
La loro forma descrittiva è la seguente:
dato come assunto, che vi sia un numero dx compreso tra “0” ed un valore “1/n”, il numero iperreale si può scrivere come “ X+dx” ovvero “X + ɛ” o “monade” → “μ(x)”.
Non solo, ma sono stati definiti concettualmente anche i cosiddetti numeri “p-adici” che assumono la seguente formula di rappresentazione nel linguaggio matematico:
che ad esempio (10-adici) si potrebbero rappresentare come una somma infinita di interi a sinistra della virgola come riportato dalla seguente:
Nella forma 10_adica quindi …99999 = -1.
Questa tipologia di categorizzazione numerica venne introdotta probabilmente per effettuare operazioni complesse in analisi matematica delle metriche.
Quanto sopra descritto porta nella direzione della categorizzazione “numerologica” quale approccio di analisi dei fenomeni fisici, dove possiamo indicare semplicisticamente che i “numeri”, con le loro relazioni funzionali, stanno alla base di un linguaggio logico, quindi coerente, in grado generare dei modelli atti ad interpretare quella che riteniamo essere la realtà fenomenologica dell’universo.
Alcuni esempi:
Il peso è una forza, ha una unità di misura numerica e si può rappresentare con un vettore (non rotante):
La massa invece esprime una quantità di materia, ha una unità di misura ed è una grandezza scalare:
siccome un atomo d’oro ha una massa pari a 3.2707068*10-22g presumibilmente ci vorranno circa un numero pari a 3,05744311902247E+018 atomi di oro (senza scorie di altri materiali)
A proposito di numeri, quando questi vengono utilizzati per rappresentare qualcosa nel mondo geometrico, trasferiscono, come è intuibile alcune delle loro proprietà ad alcuni elementi, per il calcolo di aree, di lunghezze di archi ecc.
Esistono diversi tipi di geometrie, alcune anche molto complesse e apparentemente paradossali e di difficile comprensione.
A me piace immaginare la geometria come un metodo di rappresentazione verosimile della realtà fisica degli elementi e ad esempio, se mi riferisco ad un punto, che concettualmente non ha dimensioni, se lo riporto su una geometria piana cerco di immaginare un cerchio con un diametro nullo (ma sempre un cerchio) e quindi, se devo immaginare un segmento immagino una serie infinita di cerchi, uno accanto all’altro… (ma un infinito determinato dai confini del segmento), se dovessi immaginare una linea sarebbe una serie infinita di punti senza limiti, se dovesse essere un piano lo vedrei come cerchi disposti su un area e così via perlomeno fino ad immaginare dei solidi.
E’ importante inoltre, assumere come concetto di base delle geometrie, che si deve fare sempre riferimento ad un sistema di coordinate, ad esempio, nella geometria piana si definiscono le ascisse e le ordinate (le coordinate “cartesiane” introdotte concettualmente da Cartesio).
Ora, prendiamo in considerazione un punto e associamolo ad una coordinata, in qualsiasi direzione spaziale… potrebbe anche essere interpretato come una linea:
Se aggiungiamo un’altra coordinata potremmo vedere un piano:
Se aggiungessimo un’altra coordinata scopriremmo un solido:
Con un po’ di immaginazione i numeri “razionali” potrebbero essere associati a dei cerchi…
e i numeri iperreali come dei cerchi più piccoli…
Nella geometria solida potremmo immaginare i numeri come delle sfere, magari introducendo i numeri immaginari e fornendo un concetto di “propagazione d’onda”, se non proprio i quaternioni…
Nella meccanica computazionale classica e quindi nell’informatica classica, i numeri vengono generati in relazione a degli stati energetici di interdizione o saturazione di canali di passaggio della corrente elettrica, rendendo possibile un trasferimento informazionale binario.
Curiosamente, questo sistema numerico, fu adottato anche da alcune popolazioni sin dal neolitico: i Gumulgal australiani (dal 10000 a.C. al 3500 a.C.) o altre antiche popolazioni africane o sudamericane.
In altre parole, la forma più piccola di decodificazione su uno stato energetico complementare o logico: il BIT (contrazione di “binary-digit” o cifratura binaria).
Nella simbologia rappresentativa il BIT utilizza solo due simboli derivati dal sistema decimale rappresentato con la metodologia simbolica pseudo indiana, lo “0” e l’ “1”, che indicano due possibili condizioni logiche: “VERO o FALSO” ad equivalenza simbolica positiva o negativa rispetto alla condizione di stato energetico:
In logica positiva VERO = 1 e FALSO =0, ovviamente la rappresentazione è complementare in logica negativa in quanto “se non è A allora è (!)A”.
Sotto l’aspetto numerologico quindi si parla di “sistema numerico” in base al raggruppamento simbolico di base: ne consegue che, intuitivamente nel sistema binario avremmo due simboli e nel sistema decimale a noi più consono, ne avremmo 10, ma evidentemente sono solo due metodi, tra innumerevoli possibilità rappresentative.
La conversione tra sistemi numerici rappresentativi si può quindi effettuare con dei metodi convenzionali assumendo come equivalenza la corrispondenza simbologica relativa:
Per convertire ad esempio un numero alla base 10 scritto in una base diversa da 10 bisogna sviluppare il numero nella sua forma polinomiale.
Se (x)B è un numero qualsiasi scritto nella base B e se
{ an, an−1, an−2 …,a2, a1, a0 }
sono le cifre del numero (da 0 a B−1) avremo:
(x)B=an * Bn+an−1*Bn−1+⋯+a2*B2+a1*B1+a0*B0
Ovvio pensare dunque che nella computazione meccanizzata classica, partendo da una base numerica 2 si siano di seguito sviluppate le numerazioni ottali (byte) ed esadecimanli (word), che possiamo quantizzare in termini numerici come segue:
Nei computer attualmente in commercio, di norma l’indirizzamento è a 64 bit e questo significa in termini numerici che un registro a 64 bit può contenere uno qualsiasi di 2 64 (oltre 18 quintilioni o 1,8 × 10^19 ) valori diversi.
L'intervallo di valori interi che possono essere memorizzati in 64 bit dipende dalla rappresentazione intera utilizzata.
Con i due più comuni rappresentazioni, l'intervallo è
0 e 18.446.744.073.709.551.615 (2^64 - 1)
per la rappresentazione come ( senza segno ) numero binario , e
-9.223.372.036.854.775.808 (-2^63 )
attraverso
9.223.372.036.854.775-807 (2^63 - 1)
per rappresentazione come complemento a due.
Quindi, un processore con indirizzi di memoria a 64 bit può accedere direttamente a
2^64 byte (= 16 exabyte ) di memoria indirizzabile a byte tenendo presente che la quantità di memoria viene quantizzata in multipli di byte:
Kilobyte (kb) => un kilobyte ha un'unità di memoria di 1024 (2^10)
Megabyte (Mb) => un megabyte ha un'unità di memoria se 1.048.576 (2^20), si tratta di circa 1 milione di byte.
Gigabyte (Gb) => un gigabyte ha un'unità di memoria di 1.073.741.824 (2^30), questo circa miliardi di byte.
Terabyte (Tb) => un terabyte ha un'unità di memoria di (2^40). Si tratta di circa 1 trilione di byte.
Petabyte (Tb) => un petabyte ha un'unità di memoria di (2^50). Si tratta di 1,15292150460685E+018 byte.
Da quanto sopra si evince che, anche con l’utilizzo di sistemi computazionali a portata di tutti, le potenzialità di rappresentazione delle metodologie di quantificazione sono potenzialmente interessanti almeno in riferimento a due fattori:
Il primo fattore è la potenzialità di trattamento dei numeri, che come desumibile da quanto riportato, devono essere adeguatamente rappresentati, quindi trattabili come risultato di operazioni e computerizzati con approssimazioni il più raffinate possibili (valore assoluto dell’esponenziale o quantità di cifre decimali), poiché questa potenzialità avvicina al digitale (discreto), il concetto di contiunuum, tanto per intenderci, si tratta di rappresentazioni di numeri interi o a virgola mobile (“floats” o decimali), ma anche di numeri irrazionali e numeri complessi, poiché le esigenze sono quelle di rappresentare non solo i numeri positivi o negativi, ma anche infiniti ed infinitesimali, nonché grandezze vettoriali o matricali, le quali sono fondamentali per la rappresentazione di campi numerici e degli spazi vettoriali.
Il secondo fattore invece, prende spunto dalla potenzialità di elaborare decisioni su “grandezze discrete” derivanti da elaborazioni statistiche, facendo entrare in gioco appunto, anche la “facoltà” di sviluppo di sistemi inferenziali che danno origine alla cosiddetta intelligenza artificiale, in altre parole, data una raffinata potenzialità rappresentativa dei numeri da 0 a 1 e dati dei “criteri”, che possono anche essere variabili all’interno di questo campo, si può elaborare un flusso decisionale ad albero ad esempio utilizzando un criterio di CART (Classification and Regression Trees) dove la potezialità di scelta passa da FALSO (0) a VERO (1) in un continuum statistico, in relazione al verificarsi di elaborazioni su discreti, intendendo come discreti ad esempio in termini elementari nullo, minimo, medio, massimo, magari introducendo anche i criteri di mediana e di moda, o di stima dei quartili… che a tal proposito mi rimandano il pensiero alla nuova frontiera per l’elaborazione dei dati, costituita dalle interconnessioni quantiche delle particelle subatomiche, la cui esistenza viene elaborata partendo appunto dal loro “stato potenziale” espresso nello spazio vettoriale di Hilbert e si chiamano Q-BIT che vengono rappresentati appunto come due vettori i quali assumono i valori di:
e sono valori probabilistici: Notare che un q-bit in questo stato di sovrapposizione non ha un valore compreso tra "0" e "1"; piuttosto, quando misurato, il q-bit ha una probabilità |alpha|^2 del valore "0" e una probabilità |beta|^2 del valore "1", dove α e β sono ampiezze di probabilità e in generale possono essere entrambi numeri complessi.
Questi sono i “ferri del mestiere” per chi si appresta ad entrare nel mondo della automazione, della robotica e dell’intelligenza artificiale.
Grazie mille per la lettura !
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